Miksi funktion y = x^x arvo on alhaisimmillaan juuri silloin, kun x = 0,3678...?

Miksi funktion y = x^x arvo on alhaisimmillaan juuri silloin, kun x = 0,3678...?

Vastaus
37

Tässä tarvitaan lukion differentiaalilaskennan tietoja. Kysymys liittyy eksponentti- ja logaritmifunktioihin ja derivaatan käyttöön funktion tutkimisessa.

Ensinnäkin eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät toisiinsa siten, että kaikille positiivisille luvuille x pätee x = elnx. Tästä syystä voidaan määritellä xx = (elnx)x = exlnx.

Mahdollinen paikka pienimmälle arvolle löydetään tutkimalla lausekkeen exlnx derivaattaa, joka on lukiosta tutun ketjusäännön perusteella exlnx (ln x + 1). Tämän nollakohta on ainoa mahdollinen paikka pienimmälle arvolle. Koska exlnx > 0, derivaatta on 0 täsmälleen kun ln x = -1 eli x = 1/e ≈ 0,3678794412. Lisäksi derivaatta on < 0 tämän kohdan vasemmalla puolella ja > 0 tämän oikealla puolella. Tästä syystä lauseke saa todella pienimmän arvonsa kohdassa x = 1/e.

(Prof. Juha Oikkonen)

Kommentit (0)

Vastauksesi