Mikä on suurin luku, joka voidaan kirjoittaa?

Mikä on suurin luku, joka voidaan kirjoittaa?

oppilaiden kysymys

2 vastausta
16.12.201317:00
4667
113

Vastaus riippuu siitä, millaisia luvun kirjoittamista rajoittavia asioita kysyjä tarkoittaa.

Mitään loogista ylärajaa kirjoitettavalle luvulle ei ole, vaan ihminen voi kirjoittaa numeroita peräkkäin vaikka koko ikänsä ja hänen kuoltuaan jälkipolvet voivat jatkaa.

Käytännössä rajoituksia voisivat olla paperin, kynien tai ajan loppuminen kesken.  Tietokonetta apuna käyttäen nämäkään rajat eivät tule ihan heti vastaan varsinkin, kun netistä saa ilmaiseksi tai ainakin halvalla teratavuittain tallennustilaa.

Jos käytetään muita merkintätapoja, kuin kymmenjärjestelmän numeroiden jonoa, päästään nopeasti suurempiin lukuihin, kuin alkeishiukkasten määrä maailmankaikkeudessa, jolloin niillä ei enää ole juurikaan muuta merkitystä, kuin teoreettinen kiinnostus niitä kohtaan.

Eräs tapa merkitä erittäin suuria lukuja nopeasti pieneen tilaan on Knuthin nuolinotaatio (ks. viite).

Kaikkein helpoimmalla suuren luvun kirjoittamisessa päästään kuitenkin siirtymällä kymmenkantaisesta lukujärjestelmästä isompiin. Lukujärjestelmien kantaluvulla ei nimittäin myöskään ole mitään ylärajaa, joten voimme aina määritellä lukujärjestelmän, jossa haluamallemme luvulle on oma symbolinsa. Voimme ottaa käyttöön vaikkapa googolplex+1 -kantaisen lukujärjestelmän, jossa päätämme merkitä lukua googolplex (ks. viite) symbolilla G. (Tosin elämämme ei riittäisi niiden kaikkien sitä pienempien lukujen symbolien määrittelemiseen, mutta ei anneta sen häiritä).

Kommentit (0)
61

Kymmenjärjestelmässä voi kirjoittaa kuinka tahansa suuria lukuja. Tässä mielessä kysyttyä suurinta lukua ei ole olemassa. Sen sijaan voimme pohtia sitä, kuinka suuria lukuja voimme kirjoittaa rajoitetussa tilassa.

Potenssimerkintä mahdollistaa varsin suurien lukujen käsittelemisen pienessä tilassa.

Potenssilla ilmaistaan toistettua kertolaskua. Esimerkiksi 92 tarkoittaa tuloa 9 x 9 = 81. Lukua 2 kutsutaan tässä eksponentiksi. Luku 99 = 387420489 on jo aika suuri. Siinä on 9 numeroa. Mutta jos toistamme potenssiin korotusta, niin alamme saada tosi suuria lukuja. Esimerkiksi luku 9n, on jo tosi suuri, jos n on 99. Tämä luku on siis 9 potenssiin 9 potenssiin 9. Tässä luvussa on 369693100 numeroa. Sen arvo on suunnilleen 4,28 x 10369693099. Tällainen kymmenenpotenssimerkintä kertoo, että kyseisen luvun ensimmäiset numerot ovat 4, 2 ja 8, ja sen numeroiden lukumäärä on yhtä suurempi kuin eksponentti. (Huomaa, että luvussa 102 = 100 on kolme numeroa.)

Luku 9 potenssiin 9 potenssiin 9 on jo tosi suuri. Mutta ajatellaanpa lukua 9 potenssiin 9 potenssiin 9 … 9 potenssiin 9 potenssiin 9, missä potenssimerkinnän yhdeksiköt muodostavat paperin vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan nousevat ”tikapuut”.

Tästä syntyykin idea. Otetaan tavallisen postikortin kokoinen paperi ja paksukärkinen kynä. Tehtävänä on merkitä paperille mahdollisimman suuri luku. Edellä mainitut potenssitikapuut ovat jonkinlainen yritys tähän peliin. Mutta paljon parempiakin on…

(Prof. Juha Oikkonen)

Kommentit (0)

Vastauksesi